如图,⊙O的直径AB=15cm,有一条定长为9cm的动弦CD沿弧AMD上滑动(点C与A、点D与B不重合),且CE⊥CD交AB于E,DF⊥CD交AB于F, (1)求证:AE=BF; (2)在动弦CD滑动的过程中,四边形CDFE的面积是

问题描述:

如图,⊙O的直径AB=15cm,有一条定长为9cm的动弦CD沿弧AMD上滑动(点C与A、点D与B不重合),且CE⊥CD交AB于E,DF⊥CD交AB于F,
(1)求证:AE=BF;
(2)在动弦CD滑动的过程中,四边形CDFE的面积是否为定值?若是定值,请给出证明并求出这个定值;若不是,请说明理由.

(1)从点O向CD作垂线,垂足为G.
根据垂径定理可知CG=DG,
又∵CE∥OG∥DF,
∴OG是梯形ECDF的中位线,
∴OE=OF.
∵OA=OB,
∴AE=BF.
(2)四边形CDFE的面积是定值.理由如下:
过点O作OG⊥CD于G,连接OD.
则DG=

1
2
CD=4.5cm.
在△OGD中,∠OGD=90°,OD=
1
2
AB=7.5cm,
根据勾股定理得OG=
7.524.52
=6cm,则GD=4.5cm.
∵OD、DG是定值,
∴OG是定值.
∵CE∥OG∥DF,G为CD中点,
∴O为EF中点,
①当CD与AB不平行时.
∴OG为梯形CDFE的中位线,
∴CE+DF=2OG=2×6=12cm,
∵梯形的高也是定值9cm,
∴梯形的面积是定值=12×9÷2=54cm2
②当CD∥AB时,四边形ECDF是矩形,
OG=EC=FD=6,
∴矩形的面积=6×9=54cm2是定值.
综上所述,四边形CDFE的面积是定值.