已知f(x)是一个连续函数,设F(x)=∫ [0,x]xf(t)dt,球F'(x)[0,x] 中0是下限 x是上限
问题描述：
已知f(x)是一个连续函数,设F(x)=∫ [0,x]xf(t)dt,球F'(x)
[0,x] 中0是下限 x是上限
答
F(x)=∫ [0,x]xf(t)dt=x∫ [0,x]f(t)dt
对F(x)求x的导数，F'(x)=∫ [0,x]f(t)dt+xf(x)
注就是用(uv)'=u'v+uv'，u=x,v=∫ [0,x]f(t)dt
答
F'(x)=∫ [0,x]f(t)dt+x(∫ [0,x]f(t)dt)'=∫ [0,x]f(t)dt+xf(x)
答
设 g'(x) =f(x)
那么 F(x)=∫ [0,x]xf(t)dt =x*g(t) [0,x]=xg(x)-xg(0)
F'(x) =[xg(x)-xg(0)]'=x'*g(x)+x*g'(x)-g(0)=g(x)-g(0)+xf(x)=∫ [0,x]f(x)dx +xf(x)
（ g(x)-g(0) 则是 ∫ [0,x]f(x)dx 这个定积分 ）
答
F(x)=∫xf(x)dx
取g(x)=xf(x)
F(x)=∫g(x)dx
F'(x)=g(x)=xf(x)