计算立体的体积,其中立体由旋转抛物面z=x^2+y^2与平面2x-2y-z=1围成

联立两公式，消去Z，可得 (x-1)^2+(y+1)^2=1 ，也就是说，抛物面与平面相交在平面上为一个以点（1，-1，z=2x-2y+1=3）为圆心，半径为1的圆。。。。
。
重新建立坐标系（M,N,H)，将M，N轴建在平面2x-2y-z=1上，则H轴垂直于平面，转换抛物面z=x^2+y^2 为 H=f（M，N）。。所求立体可视为一个以圆为底，以H为高的不规则半球，之后对其用微积分可得其体积。。

换算成柱坐标方程
抛物面z=x^2+y^2为z=ρ^2;
平面2x-2y-z=1为 z=2ρ(cosθ +sinθ)-1
它们的交线为
ρ^2=2ρ(cosθ +sinθ)-1
→cosθ +sinθ=(1/2)(ρ+1/ρ)
ρ=(cosθ +sinθ)±2√sin2θ
则体积为
V=∫(0,2π)dθ ∫(0,ρ) ρ·|ρ^2 -[2ρ(cosθ +sinθ)-1]|dρ
=∫(0,2π)dθ ∫(0,ρ) ρ·[ρ^2 -2ρ(cosθ +sinθ)+1]dρ
=∫(0,2π)dθ ∫(0,ρ) ρ·[ρ^2 -2ρ(cosθ +sinθ)+1]dρ
=∫(0,2π) (1/4)ρ^4 +(1/2)ρ^2 -(2/3)ρ^3·(cosθ +sinθ) dθ
=∫(0,2π) (1/4)ρ^4 +(1/2)ρ^2 -(1/3)ρ^3·(ρ+1/ρ) dθ
=∫(0,2π) (-1/12)ρ^4 +(1/6)ρ^2 dθ