已知f（x）=-x3+ax在（0，1）是增函数，求实数a的取值范围．（不能用导数解）
问题描述：
已知f（x）=-x3+ax在（0，1）是增函数，求实数a的取值范围．（不能用导数解）
答
知识点：本题主要考查函数的单调性的定义和证明，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．
∵f（x）=-x3+ax在（0，1）是增函数，设1＞x2＞x1＞0，
f（x2）-f（x1）=-x23+ax2-（-x13+ax1）=x13-x23+a（x2-x1）
=（x2-x1）[-（x12+x1•x2+x22）+a（x2-x1）]=（x2-x1）[-（x12+x1•x2+x22）+a]．
要使f（x）=-x3+ax在（0，1）上是增函数，
应有-（ x12+x1•x2+x22 ）+a≥0，即 a≥x12+x1•x2+x22．
由于1＞x2＞x1＞0，可得 x12+x1•x2+x22＜3，∴a≥3，
即a的范围为[3，+∞）．
答案解析：设1＞x2＞x1＞0，根据f（x2）-f（x1）≥0，求得a≥[x12+x1•x2+x22]，求得x12+x1•x2+x22＜3，
可得a的范围．
考试点：函数单调性的性质．
知识点：本题主要考查函数的单调性的定义和证明，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．