已知函数f(x)=x2+a/x(x≠0,a∈R) (1)判断函数f(x)的奇偶性.  (2)若f(x)在区间[2,+∞)是增函数,求实数a的取值范围.

问题描述:

已知函数f(x)=x2+

a
x
(x≠0,a∈R)
  (1)判断函数f(x)的奇偶性.
 (2)若f(x)在区间[2,+∞)是增函数,求实数a的取值范围.

(1)当a=0时,f(x)=x2,函数是偶函数;
当a≠0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)设x2>x1≥2,f(x1)-f(x2)=x12+

a
x1
-x22-
a
x2
=
x1−x2
x1x2
[x1x2(x1+x2)-a],
∵x2>x1≥2,∴x1-x2<0,x1x2>4,x1+x2>4,
∴x1x2(x1+x2)>16,
∵若f(x)在区间[2,+∞)是增函数,即f(x1)-f(x2)<0,∴x1x2(x1+x2)-a>0恒成立,
∴a<x1x2(x1+x2)恒成立,
又∵x1x2(x1+x2)>16,
∴a≤16
故实数a的取值范围是a≤16.