如图,已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,经过A、B、C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,圆M的半径为√5.设圆M与y轴交于D,抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式(2)判断△BCE的形状(3)设∠DBC=α ,∠CBE=β ,求sin(α-β)的值
问题描述：
如图,已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,
经过A、B、C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,圆M的半径为√5.设圆M与y轴交于D,抛物线的顶点为E.
(1)求m的值及抛物线的解析式
(2)判断△BCE的形状
(3)设∠DBC=α ,∠CBE=β ,求sin(α-β)的值
答
(3)由（2）得：∠BCE=90°，
CE：BC=（根号2）：（3倍根号2）=1：3
OD：OB=1:3=CE：BC
∴ △BOD∽△BCE
∴∠OBD=β
∴sin（a-β）=∠DBC-∠ABD=sin∠OBC=OC：BC=3：（3倍根号2）=（根号2）：2
答
(1)点C的坐标（0,-3）,|MC|^2=1+（m+3）^2,解得m=-1和m=-5（舍）.设抛物线与x轴交点坐标（t,0）,该点与圆心（1,-1）距离等于根号5,解这个方程得A（-1,0）、B（3,0）,从而抛物线方程为y=x^2-2x-3.（2）用两点间距离公...