设p(≥5)是质数,并且2p+1也是质数.求证:4p+1是合数.

问题描述:

设p(≥5)是质数,并且2p+1也是质数.求证:4p+1是合数.

证明:由于p是大于3的质数,故p不会是3k的形式,从而p必定是3k+1或3k+2的形式,k是正整数.
若p=3k+1,则2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1),是合数,与题设矛盾;
所以p=3k+2,这时4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3).
所以4p+1是合数.
答案解析:先根据P是大于3的质数求出P的表达式,再分p=3k+1和p=3k+2两种情况进行讨论,找出符合条件的P的表达式即可.
考试点:质数与合数.
知识点:本题考查的是质数与合数的概念,能根据题意求出P的表达式是解答此题的关键.