积分中值定理的证明：闭区间的证明使用介值定理,可是连续函数的介值定理不是在开区间存在吗?

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• 定积分中值定理的证明中,证明在[a,b]内至少存在一点s.这里证明的时候直接用了连续函数介值定理,可是连续函数的介值定理不应该是在(a,b)内存在至少一点s吗?有点混乱.
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• 与拉格朗日中值定理有关的一道证明题设f（x）在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明：在(a,b)内至少存在一点ξ,使(bf(b)-af(a))/(b-a)=f(ξ)+ ξf’(ξ)分析,本题关键是构造辅助函数,对于关系式中显含a,b及f(a),f(b)的情形更多地直接采用拉格朗日中值定理,即含介值的项全部右移,左端的分子、分母把a,b分离,然后直接观察即可得到所需辅助函数.本题即为F（x）=xf（x）.F（x）=xf（x）是怎么看出来的!我看了半天也没看出什么规律来,原式到底是怎么化简的?
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• My heart is really tired very tired,want to find a place to sleep.It is best not to wake up,keep sleeping.中文意思?