（1）已知z为虚数，z+9z−2为实数，若z-2为纯虚数，求虚数z；（2）已知w=z+i（z∈C），且z−2z+2为纯虚数，求M=|w+1|2+|w-1|2的最大值及M取最大值时w的值．
（1）已知z为虚数，z+
为实数，若z-2为纯虚数，求虚数z；9 z−2
（2）已知w=z+i（z∈C），且
为纯虚数，求M=|w+1|2+|w-1|2的最大值及M取最大值时w的值． z−2 z+2
（1）z为虚数且z-2为纯虚数，可设z=2+bi（b∈R，b≠0）
又z+
=2+bi+9 z−2
=2+bi-9 bi
i=2+（b-9 b
）i为实数，9 b
所以b-
=0，b=±39 b
所以z=2±3i．
（2）设z=a+bi（a，b∈R，）
则
=z−2 z+2
=(a−2)+bi (a+2)+bi
(a2+b2−4)+4bi
(a+2)2+b2
由于
为纯虚数，所以z−2 z+2
＝0(a2+b2−4)
(a+2)2+b2
≠04b
(a+2)2+b2
即a2+b2=4，且b≠0．①
∴M=|w+1|2+|w-1|2=（a+1）2+（b+1）2+（a-1）2+（b+1）2
=2（a2+b2）+4b+4
=12+4b
由①可得出b∈[-2，2]且b≠0，所以b的最大值为2，从而M的最大值为20．
此时a=0，w=z+i=2i+i=3i．
答案解析：（1）由已知，可设z=2+bi（b∈R，b≠0）．根据z+
为实数求出虚部为0，解出参数b，从而求出z9 z−2
（2）设z=a+bi（a，b∈R，）根据
为纯虚数，得出z−2 z+2
，即a2+b2=4，且b≠0．
＝0(a2+b2−4)
(a+2)2+b2
≠04b
(a+2)2+b2
M=|w+1|2+|w-1|2=2（a2+b2）+4b+4=12+4b，在上式条件下求出最值及w．
考试点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念；复数求模．
知识点：本题考查复数代数形式的基本运算，复数的分类、模的计算，考查转化、计算能力．