高中一道导数题设气球以每秒100cm³的常速注入气体,设气体压力不变,则当气球半径为10c㎡时,气球半径增加的速度为多少?
问题描述：
高中一道导数题
设气球以每秒100cm³的常速注入气体,设气体压力不变,则当气球半径为10c㎡时,气球半径增加的速度为多少?
答
首先,我们假设气球的形状是一个球体（不然貌似很难算体积）
接下来,我们就可以根据球体体积公式 V=(4πR^3)/3 (“^”这个符号认识吧,就是多少次乘方地意思）
那么,体积和半径之间的增长就有如下的关系 dV/dR=4πR^2 （如果这一步比较难理解得话,我举一个稍微复杂的例子,但是个人觉得有助于理解.比如体积和气球表面积地增长关系:
求 dV/dS
因为 V=(4πR^3)/3 所以 dV=(4πR^2)dR
因为 S=4πR^2 所以 dS=(8πR)dR 故 dV/dS=R/2
其实这些是微积分的思想,不知道你们老师怎么想的,高中就做这种题,太变态了,我也就是现在还会,等我大学毕业了,不知道会丢到哪里去……）
扯远了,继续哈
dV/dR=4πR^2 移项 dV=(4πR^2)dR
dV 就是体积的变化率,由题意知为每秒100cm^3,R为10cm（我觉得这个地方貌似没有平方）
带进去就可以求出 dR,即为气球半径的增加速度
dR=dV/(4πR^2)=(100cm^3/s)/(4π(10cm)^2)=(1/4π)cm/s
哈,应该是这个答案吧,想出来很快哈,就是敲上来好累……