已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：①x＞1时，f（x）＜0；②f(1/2)＝1③对任意的正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y） （1）求证：f（1）=0，f(1/x)＝−f(x)； （2）求证：f（x）在定义
问题描述：
已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：①x＞1时，f（x）＜0；②f(
)＝1③对任意的正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）1 2
（1）求证：f（1）=0，f(
)＝−f(x)；1 x
（2）求证：f（x）在定义域内为减函数；
（3）求不等式f（2）+f（5-x）≥-2的解集．
答
证明（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，
令x=x，y=
，则f（1）=f（x）+f（1 x
）=0，即f（1 x
）=-f（x），1 x
（2）∵x＞1时，f（x）＜0，设任意0＜x1＜x2，则
＞1，x2 x1
f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（
）=f（1 x1
）＜0，x2 x1
∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在定义域内为减函数；
（3）∵f（
）=1，f（1 2
）=-f（x），1 x
∴-f（2）=f（
）=1得，1 2
∴f（2）=-1，即有f（2）+f（2）=-2，
∴f（2）+f（5-x）≥-2可化为f（2）+f（5-x）≥f（2）+f（2），
即f（5-x）≥f（2），又f（x）在定义域内为减函数，
∴0＜5-x≤2，解得3≤x＜5．
∴原不等式的解集为：{x|3≤x＜5}．