已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明数列{lg（1+an）}是等比数列；（Ⅱ）设Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及数列{an}的通项公式．
问题描述：
已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明数列{lg（1+an）}是等比数列；
（Ⅱ）设Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及数列{an}的通项公式．
答
（Ⅰ）证明：由已知，得an+1=an2+2an，
∴an+1+1=（an+1）2．
∵a1=2，∴an+1＞1．
两边取对数，得lg（an+1+1）=2lg（an+1），
即
＝2.lg(an+1+1) lg(an+1)
数列{lg（1+an）}是以lg3为首项，
公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
lg(an+1)＝2n−1lg3＝lg32n−1，
∴an+1＝32n−1，
∴an＝32n−1−1．
∴Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）
=3×321×322××32n−1
=31+2+22++2n−1=32n−1．
答案解析：（Ⅰ）把点（an，an+1）代入函数f（x）的解析式，可得到an+1与an关系式两边取对数化简可得
＝2.进而可证明数列{lg（1+an）}为等比数列．lg(an+1+1) lg(an+1)
（Ⅱ）根据（Ⅰ）{lg（1+an）}为等比数列，可求得数列lg（1+an）}的通项公式，进而可求数列{an}的通项公式．根据{an}的通项公式代入Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），进而求得Tn
考试点：等比关系的确定；数列的应用；数列的求和；数列递推式．
知识点：本题主要考查了数列等比关系的确定．确定的关键是每一项与它的前一项的比等于同一个常数．