设a>0为常数,求函数y=e^(-x)-e^(-2x)在区间[0,1]上的最大值和最小值区间打错了是，[0,a]大家再算下，

分类: 作业答案 • 2021-12-19 17:20:19

问题描述：

设a>0为常数,求函数y=e^(-x)-e^(-2x)在区间[0,1]上的最大值和最小值
区间打错了是，[0,a]大家再算下，

答

令e^(-x)=z，则e^(-2x)=z^2
原函数f(z)=z-z^2
【当0z在区间[a,1]上，f(z)的对称轴是z=1/2 分以下两种情况讨论
(1* ) 0(2*) 1/2 【当a>1时】
z在区间[1,a]上
最大值max=f(1)=0 最小值min=f(a)=a-a^2

答

设e^(-x)＝t，因为x∈[0,1]，所以t∈[1/e,1]
y＝t－t^2=-(t-1/2)^2+1/4
因为，1/2∈[1/e,1]
所以，t＝1/2时，y有最大值＝1/4
因为，t＝1/e时，y＝e^(-1)-e^(-2)>0
t＝1时，y＝0
所以，t＝1时，y有最小值＝0

答

f′(x)=-e^(-x)+2e^(-2x),
f(x)′=0,得驻点 x=ln2 属于[0,1]
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