求曲面xyz=1上在第一卦限内,距离坐标原点最近的点处的切平面方程
问题描述：
求曲面xyz=1上在第一卦限内,距离坐标原点最近的点处的切平面方程
答
曲面xyz=1上点到原点距离
L=x²+y²+z²=(1/xy)+(1/yz)+(1/xz)≥3√(1/xyz)²=3,当且仅当x=y=z=1时取得最小值.
切平面经过点(1,1,1)其法向量可通过求其梯度得到,即求F(x,y,z)=1在三个方向上的偏导数可得法向量为(-1,-1,-1)
则所求切平面的点法式方程为
-1(x-1)+(-1)(y-1)+(-1)(z-1)=0
即x+y+z=3