设微分方程xy'+p(x)y=x的一个特解为y^+=e^x,求其满足条件y|x-ln2=0的特解.
问题描述：
设微分方程xy'+p(x)y=x的一个特解为y^+=e^x,求其满足条件y|x-ln2=0的特解.
答
微分方程xy'+p(x)y=x的一个特解为y^+=e^x 可求得p(x)=x(1-e^x)/e^x (1)
将(1)代入微分方程xy'+p(x)y=x 可求出其齐次方程的通解为y=Ce^[x+e^(-x)] (其中C为任意常数)
所以可设微分方程xy'+p(x)y=x的通解为y=u(x)e^[x+e^(-x)] (2)
将(2)代入微分方程xy'+p(x)y=x 可求出其通解为y=Ce^[x+e^(-x)]+ e^[x+e^(-x)]f(x)
其中f(x)为e^[x+e^(-x)]的不定积分
根据条件y|x-ln2=0可求得特解为y=C{e^[x+e^(-x)]+(ln2)e^x} (其中C为任意常数)