已知数列{an（n下标）}满足a1（1下标）=1,a2（2下标）=3,.求证：bn（n下标）是等差数列.已知数列{an（n下标）}满足a1（1下标）=1,a2（2下标）=3,an+2（n+2下标）=3an+1（n+1下标）-2an （n下标） (n∈N＊)若数列{bn（n下标）}满足：4^b1（1下标）-1 *4^b2（2下标）-1 *.4n^b-1={an+1}（n+1下标）^bn,（n下标 ） (n∈N＊),求证：bn（n下标）是等差数列.(^代表上标)

an=3^(n-1)+a(n-1)
a(n-1)=3^(n-2)+a(n-2)
……
a2=3+a1
两边分别相加
消去相同的
an=3^(n-1)+3^(n-2)+……+3+a1
利用等比数列求和公式
3^(n-1)+3^(n-2)+……+3
=3*(3^(n-1)-1)/(3-1)
=(3^n-3)/2
所以
an=(3^n-3)/2+1=(3^n-1)/2
a2,a3自己算吧
a^n表示a的n次方

a(1) = 1, a(2) = 3.
a(n+2) = 3a(n+1) - 2a(n),
a(n+2) - a(n+1) = 2[a(n+1) - a(n)],
{a(n+1)-a(n)} 是首项为a(2)-a(1)=3-1=2,公比为2的等比数列。
a(n+1)-a(n)=2*2^(n-1)=2^n,
a(n) - a(n-1) = 2^(n-1),
...
a(2)-a(1) = 2^1,
a(n+1)-a(1) = 2^1 + ... + 2^(n-1) + 2^n = 2[1+2+...+2^(n-1)]
=2*[2^n-1]/(2-1)=2^(n+1) - 2,
a(n+1) = a(1) + 2^(n+1)-2 = 2^(n+1)-1,
a(n) = 2^n - 1.
4^[b(1) - 1]*4^[b(2) - 1]*...*4^[b(n)-1] = 4^[B(n)-n] = [a(n)+1]^b(n) = [2^n]^b(n) = 2^[nb(n)], B(n) = b(1)+b(2)+...+b(n).
4^[b(1)-1]=2^b(1), 2b(1)-2=b(1),b(1)=2.
2^[2*b(2)] = 4^[b(1)-1]*4^[b(2)-1] = 4^[2-1]*4^[b(2)-1]=4^b(2),
4^[B(n+1)-n-1] = 2^[(n+1)b(n+1)],
4^[b(n+1)-1] = 4^[B(n+1)-n-1 - B(n)+n] = 2^[(n+1)b(n+1)-nb(n)].
2b(n+1)-2 = (n+1)b(n+1)-nb(n).
nb(n) = (n-1)b(n+1) + 2,
若b(2) = 2,可由归纳法证明，b(n) = 2, n = 1,2,..., {b(n)}是公差为0的等差数列。
若b(2)不等于2.
n>=2时，
b(n)/(n-1) = b(n+1)/n + 2/[n(n-1)] = b(n+1)/n + 2/(n-1) - 2/n,
[b(n+1)-2]/(n+1 -1) = [b(n)-2]/(n-1) = ... = [b(2)-2]/(2-1) = b(2)-2.
b(n)-2 = (n-1)[b(2)-2],
b(n) = 2 + (n-1)[b(2)-2], n = 2,3,...
b(n+1) = 2 + n[b(2)-2],
b(n+1)-b(n) = b(2)-2,
b(2)-b(1)=b(2)-2.
所以
b(n+1) - b(n) = b(2) - 2, n = 1,2,...
{b(n)}是公差为b(2)-2的等差数列。

分析：要求b(n)肯定先要求出a(n）；a(n）好求!只是你列的第二个式子应该有问题,参照你的原式我发现b₁居然求出了是一个对数,这在高中数学中是很少见的!注意：考试并不是要难倒谁,所以当你求出一个很不理想的数字时就应该想到可能有问题了,多数情况是你自己错了很少会是题目错误!我认为你的第二个式子应该是4^[b(1) - 1]*4^[b(2) - 1]*...*4^[b(n)-1])-n] = [a(n)+1];
a(n+2)=3a(n+1)-2a(n)
即 a(n+2)-a(n+1)=2[a(n+1)-a(n)],
[a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-a(n)]=2;
可以令c(n)=a(n+1）-a(n);c₁=a₂-a₁=3-1=2;
显然c(n)是一个以2为首项,2为公比的等比数列.
则 c(n)=2*(2^(n-1))=2^n
所以 a(n+1)-a(n)=2^n;
则有 a(n)-a(n-1)=2^(n-1)………………第一项
a(n-1)-a(n-2)=2^(n-2)………………第二项
a(n-2)-a(n-3)=2^(n-3)………………第三项
……
……
……
……
a₂-a₁=2 ……………………第n-1项
等式左边加左边,右边加右边,消去以后得到：
a(n)-a₁=2^(n-1)+2^(n-2)+…………+2
即a(n)-1=-2(1-2^(n-1））
a(n)=2^n-1;
再来求b(n）；
4^(b₁-1)*4^(b₂-1)*…………*4^[b(n)-1]=[a(n)+1]^b(n)
则4^[b₁+b₂+…………+b(n)-n]=2^[n*b(n)];令n=1可得b₁=2;
有2[b₁+b₂+…………+b(n)-n]=n*b(n)…………一式
2[b₁+b₂+…………+b(n-1)-(n-1)]=2^[(n-1)*b(n-1)]…………二式
用一式减去二式得到：
2[b(n)-1]=n*b(n)-(n-1)*b(n-1)
(n-1)*b(n-1）=(n-2)*b(n)+2 ;这里b>=2;
式子两边同时除以（n-1)*(n-2)得到：
b(n-1)/(n-2)=b(n)/(n-1)+2/(n-2)-2/(n-1);
b(n-1)/(n-2)-b(n)/(n-1)=2/(n-2)-2/(n-1);…………第一项
b(n-2)/（n-3)-b(n-1)/(n-2)=2/(n-3)-2/(n-2);…………第二项
…………
…………
…………
…………
b₂/1-b₃/2=2/1-1;………………第(n-2)项；此时n取到了3.
同样等式左右相加消去得到；
b(n)=(n-1)*b₂+2-2*(n-1)=n*b₂-b₂-2*n+4;
则b(n+1）=n*b₂-2*n+2;
用b(n+1)-b(n)=b₂-2;
无论b₂取何值,(b₂-2)均为一常量!故得证!
考个重点大学!开心快乐!

a(n+2)=3a(n+1)-2an
a(n+2)-a(n+1)=2[a(n+1)-an]
故{a(n+1)-an}是以a2-a1=2为首项，2为公比的等比数列
故：a(n+1)-an=2*2^(n-1)=2^n
an-a(n-1)=2^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=2^(n-2)
....
a2-a1=2
相加得：
an-a1=2+2^2+...+2^(n-1)=2^n -2
an=2^n -1
下面的式子看不懂了，1* 是什么意思？