在计算“1×2+2×3+…+n（n+1）”时，先改写第k项：k（k+1）=13[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=13（1×2×3-0×1×2），2×3=13（2×3×4-1×2×3），…，n（n+1）=13[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]．相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=13n（n+1）（n+2）．（1）类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的结果．（2）试用数学归纳法证明你得到的等式．

答

（1）∵n（n+1）（n+2）=14[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]∴1×2×3=14（1×2×3×4-0×1×2×3）2×3×4=14（2×3×4×5-1×2×3×4）…n（n+1）（n+2）=14[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+...
答案解析：（1）根据已知中给出的在计算“1×2+2×3+…+n（n+1）”时化简思路，对1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）的计算结果进行化简，处理的方法就是类比k（k+1）=

1

3

[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，将n（n+1）（n+2）进行合理的分解．
（2）直接利用数学归纳法的证明步骤，先证明n=1时，结论成立，再设当n=k（k∈N^*）时，等式成立，利用假设证明n=k+1时，等式成立即可．．
考试点：数学归纳法；类比推理．
知识点：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．（2）考查数学归纳法证明等式问题，证题的关键是利用归纳假设证明n=k+1时，等式成立，属于中档题．