如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.(1)试说明:△COD是等边三角形;(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;(3)探究:当α为多少度时,△AOD是以OD为底边的等腰三角形?

问题描述:

如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD
(1)试说明:△COD是等边三角形;
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:当α为多少度时,△AOD是以OD为底边的等腰三角形?

(1)∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,
∴△ADC≌△BOC,∠OCD=60°
∴OC=OD
则△COD是等边三角形;
(2)△AOD为直角三角形.
∵△COD是等边三角形.
∴∠ODC=60°,
∵∠ADC=∠BOC=α=150°,
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°,于是△AOD是直角三角形.

(3)α=125°.
理由:∵△AOD是以OD为底边的等腰三角形,
∴∠AOD=∠ADO=∠ADC-60°=α-60°.
∵110°+α+(60°+∠AOD)=360°,
∴110°+α+(60°+α-60°)=360°,
解得α=125°.
答案解析:(1)由旋转的性质可知CO=CD,∠OCD=60°,可判断:△COD是等边三角形;
(2)由(1)可知∠COD=60°,当α=150°时,∠ADO=∠ADC-∠CDO,可判断△AOD为直角三角形;
(3)当△AOD是以OD为底边的等腰三角形时,∠AOD=∠ADO=∠ADC-60°=α-60°,根据∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°,列方程求α.
考试点:旋转的性质;等腰三角形的判定;等边三角形的判定.
知识点:本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定,等腰三角形的性质,关键是利用旋转前后,对应边相等,对应角相等解题.