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设f(x)是以l为周期的连续函数,证明∫a到a+lf(x)dx的值与a无关

分类: 作业答案 • 2021-12-19 16:55:38
问题描述：

设f(x)是以l为周期的连续函数,证明∫a到a+lf(x)dx的值与a无关

答

首先拆为两部分∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx.
对后者换元x=t+I得, ∫f(x)dx=∫f(t+I)dt=∫f(t)dt.
再将两部分合并即∫f(x)dx+∫f(t)dt＝∫f(x)dx.
该值与a无关.

答

f(x)是以l为周期的连续函数
那么它的一个原函数F(x)也是周期为l的连续函数
这样
F(a+l)=F(a)
所以∫a到a+lf(x)dx的值与a无关

答

这是定积分的一个基本证明题：
证明：∫(a,a+l)f(x)dx=∫(a,0)f(x)dx+∫(0,l)f(x)dx+∫(I,a+l)f(x)dx
对第3个积分,设t=x-I,代入得：
∫(I,a+l)f(x)dx=∫(0,a)f(t+I)dt=∫(0,a)f(t)dt=-∫(a,0)f(t)dt,与第1个积分抵消
所以：∫(a,a+l)f(x)dx=∫(0,l)f(x)dx ,右端积分与a无关.

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