已知正四面体ABCD的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T,则TS等于(  )A. 19B. 49C. 14D. 13

问题描述:

已知正四面体ABCD的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T,则

T
S
等于(  )
A.
1
9

B.
4
9

C.
1
4

D.
1
3

如图所示,正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H,
∴四面体EFGH也是正四面体.
连接AE并延长与CD交于点M,
连接AG并延长与BC交于点N.
∵E、G分别为面的中心,

AE
AM
=
AG
AN
=
2
3
.∴
GE
MN
=
2
3

又∵MN=
1
2
BD,∴
GE
BD
=
1
3

∵面积比是相似比的平方,∴两四面体的面积比为;
T
S
=
1
9

故答案为:A
答案解析:因为正四面体四个面都是正△,其中心到顶点的距离等于到对边距离的一半,通过作出辅助线,可得两四面体的边长比,由面积比是边长比的平方,可得出答案.
考试点:棱柱、棱锥、棱台的体积.
知识点:本题考查了多面体的面积比是边长比的平方,本题关键是求边长比是多少;类似的有体积比是边长比的立方,三角形的高,中线,角平分线的比等于边长的比.