已知正四面体ABCD的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T,则TS等于( )A. 19B. 49C. 14D. 13
问题描述:
已知正四面体ABCD的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T,则
等于( )T S
A.
1 9
B.
4 9
C.
1 4
D.
1 3
答
如图所示,正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H,
∴四面体EFGH也是正四面体.
连接AE并延长与CD交于点M,
连接AG并延长与BC交于点N.
∵E、G分别为面的中心,
∴
=AE AM
=AG AN
.∴2 3
=GE MN
.2 3
又∵MN=
BD,∴1 2
=GE BD
.1 3
∵面积比是相似比的平方,∴两四面体的面积比为;
=T S
.1 9
故答案为:A
答案解析:因为正四面体四个面都是正△,其中心到顶点的距离等于到对边距离的一半,通过作出辅助线,可得两四面体的边长比,由面积比是边长比的平方,可得出答案.
考试点:棱柱、棱锥、棱台的体积.
知识点:本题考查了多面体的面积比是边长比的平方,本题关键是求边长比是多少;类似的有体积比是边长比的立方,三角形的高,中线,角平分线的比等于边长的比.