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已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，则1x+2y+42y+3z+93z+x的最小值为______．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 16:44:39
问题描述：

已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，则

1
x+2y
+
4
2y+3z
+
9
3z+x
的最小值为______．

答

由柯西不等式可得（x+2y+2y+3z+3z+x）（

1
x+2y
+
4
2y+3z
+
9
3z+x
）≥（1+2+3）2，
∵x+2y+3z=1，
∴2（
1
x+2y
+
4
2y+3z
+
9
3z+x
）≥36，
∴
1
x+2y
+
4
2y+3z
+
9
3z+x
≥18，
∴
1
x+2y
+
4
2y+3z
+
9
3z+x
的最小值为18．
故答案为：18．
答案解析：运用柯西不等式可得（x+2y+2y+3z+3z+x）（
1
x+2y
+
4
2y+3z
+
9
3z+x
）≥（1+2+3）2，即可得出结论．
考试点：二维形式的柯西不等式．
知识点：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．

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