已知函数f（x）=logax+bx−b（a＞0，a≠1，b＞0）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）讨论f（x）的单调性，并证明．
问题描述：
已知函数f（x）=loga
（a＞0，a≠1，b＞0）．x+b x−b
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性，并证明．
答
（1）因为x+bx−b＞0，解之得x＜-b或x＞b，∴函数的定义域为（-∞，-b）∪（b，+∞）．…（3分）（2）由（1）得f（x）的定义域是关于原点对称的区间f（-x）=loga−x+b−x−b=logax−bx+b，∵-f（x）=loga（x+bx−b）...
答案解析：（1）根据对数的真数大于0，解关于x的不等式即可得到f（x）的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义结合对数的运算性质，可证出f（-x）=-f（x），得f（x）为奇函数；
（3）设b＜x1＜x2，将f（x1）与f（x2）作差化简整理，可得：当a＞1时，f（x1）-f（x2）＞0；当0＜a＜1时，f（x1）-f（x2）＜0，由此结合函数单调性的定义即可得到函数在（b，+∞）上的单调性．同理可得函数在区间（-∞，-b）上的单调性，从而得到本题答案．
考试点：函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断．
知识点：本题给出含有分式的对数形式的函数，求函数的定义域并求函数的单调性、奇偶性．着重考查了函数奇偶性的判断、函数的定义域及其求法和函数单调性的判断与证明等知识，属于基础题．