数奥题 1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+6/64+7/128+8/256+9/512+10/1024 的简便算法

S=1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+6/64+7/128+8/256+9/512+10/1024
1/2*s=1/4+2/8+3/16+4/32+5/64+6/128+7/256+8/512+9/1024+10/2048
两式相减得：
1/2*S=1/2+1/4+1/8+..+1/1024-10/2048
下面用等比数列公式计算即可

设 a=1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+6/64+7/128+8/256+9/512+10/1024
那么1/2*a= 1/4+2/8+3/16+4/32+5/64+6/128+7/256+8/512+9/1024+10/2048
a-1/2*a=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+1/256+1/512+1/1024-10/2048
=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+1/256+1/512+1/1024+(1/1024-1/1024)-10/2048
=1-1/1024-10/2048=1-1/1024-5/1024=509/512

用差项法
令y＝ 1/2+2/4+3/8+......+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n
2y＝1+2/2+3/4+4/8+......+n/2^(n-1)
第二式减去第一式
有 y＝1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1)-n/2^n
=2-1/2^(n-1)-n/2^n
=2-1/2^(10-1)-10/2^10
=2-1/512-1/1024
=2-3/1024
=2045/1024

没什么说的 上面的

设S=1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+6/64+7/128+8/256+9/512+10/1024
2S=1+2/2+3/4+...+10/512
2S-S=1+1/2+1/4+1/8+...+1/512-10/1024=S
S=1+511/512-10/1024
=509/256