线性代数的关于行列式的性质

行列式

    在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。

行列式的基本性质

n阶行列式的性质：

性质1：行列式与他的转置行列式相等。

性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。

推论：若一个行列式中有两行的对应元素（指列标相同的元素）相同，则这个行列式为零。

性质3：行列式中某行的公共因子k,可以将k提到行列式外面来。

推论：行列式中有两行（列）元素对应成比例时，该行列式等于零。

性质4：行列式具有分行（列）相加性。

推论：如果将行列式某一行（列）的每个元素都写成m个数（m为大于2的整数）的和，则此行列式可以写成m个行列式的和。

性质5：行列式某一行（列）各元素乘以同一个数加到另一行（列）对应元素上，行列式不变。[2]

其它性质

若A是可逆矩阵， 设A‘为A的转置矩阵， （参见共轭） 若矩阵相似，其行列式相同。 行列式是所有特征值之积。这可由矩阵必和其Jordan标准形相似推导出。

行列式的展开

余因式(英译：cofactor)

又称“余子式”、“余因子”。参见主条目余因式对一个n阶的行列式M，去掉M的第i行第j列后形成的n-1阶的行列式叫做M关于元素mij的子式。记作Mij。

余因式为 Cij=（-1）^(i+j)*Mij

代数余子式

在n阶行列式中，把（i，j）元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元aij的余子式，记作Mij：记

Aij=（-1）i+j Mij

Aij叫做（i，j）元aij的代数余子式

行和列的展开

一个n阶的行列式M可以写成一行(或一列)的元素与对应的代数余子式的乘积之和，叫作行列式按一行(或一列)的展开。

这个公式又称作拉普拉斯公式，把n阶的行列式计算变为了n个n-1阶行列式的计算。

行列式函数

由拉普拉斯公式可以看出，矩阵A的行列式是关于其系数的多项式。因此行列式函数具有良好的光滑性质。

单变量的行列式函数设为的函数，则也是的。其对t的导数为

矩阵的行列式函数函数是连续的。由此，n阶一般线性群是一个开集，而特殊线性群则是一个闭集。

函数也是可微的，甚至是光滑的（）。其在A处的展开为

也就是说，在装备正则范数的矩阵空间Mn()中，伴随矩阵是行列式函数的梯度

特别当A为单位矩阵时，

可逆矩阵的可微性说明一般线性群GLn()是一个李群。

性质1：行列式与它转置行列式相等.性质2：若行列式两行相同,则行列式为0 性质3：行列式中两行成比例,则行列式为0性质4：把行列式一行的倍数对应加到另一行,行列式值不变 性质5：对换行列式中两行位置,行列式反号.