设A是数域F上的n阶方阵,秩A=1,证明(1)存在n*1矩阵和1*n矩阵C,使A=BC (2)A^2=kA

问题描述:

设A是数域F上的n阶方阵,秩A=1,证明(1)存在n*1矩阵和1*n矩阵C,使A=BC (2)A^2=kA

1、R(A)=1,存在可逆的n阶方阵P、Q,A=PE11Q,E11是第一行第一列元素=1,其他元素都=0的矩阵.A=P(1,0,...,0)^T(1,0,...,0)Q
B=P(1,0,...,0)^T,C=(1,0,...,0)Q
A=BC
2、CB=(K)实际上K是Q的第一行和P的第一列对应元素乘积之和.
A^2=BCBC=B(K)C=KBC=KA