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已知f（x）=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0，1]内有最大值-5，求a的值及函数表达式f（x）．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 15:57:47
问题描述：

已知f（x）=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0，1]内有最大值-5，求a的值及函数表达式f（x）．

答

解∵f（x）=-4(x−

a
2
)2-4a，此抛物线顶点为(
a
2
，−4a)．
当
a
2
≥1，即a≥2时，f（x）取最大值-4-a2．令-4-a2=-5，得a2=1，a=±1＜2（舍去）．
当0＜
a
2
＜1，即0＜a＜2时，x=
a
2
时，f（x）取最大值为-4a，令-4a=-5，得a=
5
4
∈（0，2）．
当
a
2
≤0，即a≤0时，f（x）在[0，1]内递减，∴x=0时，f（x）取最大值为-4a-a2，
令-4a-a2=-5，得a2+4a2-5=0，解得a=-5，或a=1，其中-5∈（-∞，0]．
综上所述，a=
5
4
或a=-5时，f（x）在[0，1]内有最大值-5．
∴f（x）=-4x2+5x-
25
16
或f（x）=-4x2-20x-5．
答案解析：先将二次函数配方得：-4(x−
a
2
)2-4a，下面对对称轴与所给区间的位置关系进行讨论，对每一种情况求出相应的最大值，再利用题中条件：“有最大值-5”得方程即可求得a值，从而进一步求得函数表达式f（x）．
考试点：二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．
知识点：本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、函数的最值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

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