已知函数f(x)=sin(wx+π/6)+sin(wx-π/6)-2cos^2 wx/2 w＞0 若对任意a属于R,函数Y=f（X),x属于（a,a+π若对任意a属于R，函数Y=f（X)，x属于（a，a+π）的图像与直线y=-1有且仅有一个交点，试缺点W值（不必证明），并求函数y=f(X),X属于R的单调增区间。

采用导数法解决这类问题。你这个表达示表示不清楚：
我的一种理f(x)=sin(wx+pi/6)+sin(wx-pi/6)-2(cos(wx))^2/(2w);
表达不清可以多用括号。我只能给你提供思路：对上式求导，如果单调递增就求导数f'(x)>0的x的区间，即为单调增区间;反之为减区间。
导数是高三的内容。

(1)
sin(wx+π/6)=sinwxcosπ/6+coswxsinπ/6
sin(wx-π/6)=sinwxcosπ/6-coswxsinπ/6
f(x)=sin(wx+π/6)+sin(wx-π/6)-2cos²wx/2
f(x)=sinwx-2cos²wx/2
f(x)=√3sinwx-coswx-1
f(x)=2[(√3/2)sinwx-(1/2)coswx]-1
f(x)=2(sinwxcosπ/6-sinπ/6coswx)-1
f(x)=2sin(wx- π/6)-1
1≥f(x)≥-3
x属于（a,a+π）的图像与直线y=-1有且仅有一个交点
可得f(x)的周期为2π,所以w=1
（2）
f(x)=2sin(x- π/6)-1
因为sinx的单调增区间是
2kπ-π/2≤x≤2kπ+π/2
不等式各边同时减π/6
2kπ-π/2-π/6≤x-π/6≤2kπ+π/2-π/6
2kπ-2π/3≤x-π/6≤2kπ+π/3
所以f(x)=2sin(x- π/6)-1的单调增区间是[2kπ-2π/3,2kπ+π/3]