两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放,使直角顶点重合.将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②,点F、G分别是CD、DE与AB的交点,点H是DE与AC的交点.(1)不添加辅助线,写出图②中所有与△BCF全等的三角形;(2)将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C,点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1,如图③.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系,并写出推理过程;(3)在(2)的条件下,若D1E1与CE交于点I,求证:G1I=CI.

问题描述:

两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放,使直角顶点重合.将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②,点F、G分别是CD、DE与AB的交点,点H是DE与AC的交点.

(1)不添加辅助线,写出图②中所有与△BCF全等的三角形;
(2)将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C,点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1,如图③.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系,并写出推理过程;
(3)在(2)的条件下,若D1E1与CE交于点I,求证:G1I=CI.

(1)图②中与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH.
(2)D1F1=AH1
证明:∵在△AF1C与△D1H1C中,

∠A=∠D1=30°
CA=CD1
∠F1CH1∠F1CH1

∴△AF1C≌△D1H1C.
∴F1C=H1C,又CD1=CA,
∴CD1-F1C=CA-H1C.
即D1F1=AH1
(3)连接CG1
在△D1G1F1和△AG1H1中,
D1=∠A
D1G1F1=∠AG1
D1F1=AH1
H1

∴△D1G1F1≌△AG1H1
∴G1F1=G1H1
又∵H1C=F1C,G1C=G1C,
∴△CG1F1≌△CG1H1
∴∠1=∠2.
∵∠B=60°,∠BCF=30°,
∴∠BFC=90°.
又∵∠DCE=90°,
∴∠BFC=∠DCE,
∴BA∥CE,
∴∠1=∠G1CE,
∴∠2=∠G1CE,
∴G1I=CI.
答案解析:(1)观察图形,根据全等三角形的判定定理,即可得与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH;
(2)利用SAS即可判定△AF1C≌△D1H1C,则可得对应线段相等,即可求得D1F1=AH1
(3)首先连接CG1,利用AAS即可证得△D1G1F1≌△AG1H1.然后可证得△CG1F1≌△CG1H1.又由平行线的性质即可求得答案.
考试点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质.

知识点:此题考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质,平行线的性质等知识.此题综合性较强,解题的关键是注意数形结合思想的应用,准确构造辅助线给解题会带来事半功倍的效果.