向量证明三角形三条中线交于一点,1.证明三角形三条中线交于一点(以下字母全都表示向量)令AC=a,BC=b为基底有AB=a-b,AD=a-(b/2),BE=(-a/2)+b再令AD与BE相交于G1,并假定AG1=λAD,BG1=μBE,则有AG1=λa-λb/2,BG=(-μa/2)+μb由于AG1=AB+BG1=(1-(μ/2))a=(μ-1)b所以可以列方程解得λ=μ=2/3,所以AG1=2/3AD再令AD与CF相交于点G2,同样的方法可以证得AG2=2/3AD(这里要怎么证,得重新设基底吗,我用旧的基底解不出来,还是我计算哪错了,把最后“同理可得”概括的步骤写一下吧谢谢)

问题描述:

向量证明三角形三条中线交于一点,
1.证明三角形三条中线交于一点(以下字母全都表示向量)
令AC=a,BC=b为基底
有AB=a-b,AD=a-(b/2),BE=(-a/2)+b
再令AD与BE相交于G1,并假定AG1=λAD,BG1=μBE,
则有AG1=λa-λb/2,BG=(-μa/2)+μb
由于AG1=AB+BG1=(1-(μ/2))a=(μ-1)b
所以可以列方程解得λ=μ=2/3,所以AG1=2/3AD
再令AD与CF相交于点G2,同样的方法可以证得AG2=2/3AD
(这里要怎么证,得重新设基底吗,我用旧的基底解不出来,还是我计算哪错了,把最后“同理可得”概括的步骤写一下吧谢谢)

你已经怎明了,AD,BE的交点G1,把AD分成2∶1.从而AD.CF的交点G2也把AD
分成2∶1.[可以不必再证.下面*是证明],∴G1,G2重合.三个中线交于一点.
* AG2=sAD=s(a-b/2)=sa+(-s/2)b.
AG2=AC+tCE=a+t[(a-b)/2-a]=(1-t/2)a+(-t/2)b
s=1-t/2,-s/2=-t/2,s=t=2/3.
AG2=(2/3)AD,AD被G2分成2∶1