设函数f(x)=cos(2x-π/3)-cos2x,x属于R,求f(x)在(0,π/2)上的值域1) 求f(x)在(0,π/2)上的值域2) 记三角形ABC的内角A,B,C的对边长分部为a,b,c,若f(A)=1,a=根号7,b=3,求c的值
问题描述：
设函数f(x)=cos(2x-π/3)-cos2x,x属于R,求f(x)在(0,π/2)上的值域
1) 求f(x)在(0,π/2)上的值域
2) 记三角形ABC的内角A,B,C的对边长分部为a,b,c,若f(A)=1,a=根号7,b=3,求c的值
答
f（x）=cos（2x-π/3）-cos2x
=cos2xcosπ/3+sin2xsinπ/3-(cosx)^2
=根号3/2sin2x-1/2cos2x
=sin（2x-π/6）
（1）由0＜x＜π/2，得-π/6＜2x-π/6＜5π/6
所以-1/2＜sin（2x-π/6）＜=1
所以f（x）在（0，π/2）上的值域为（-1/2,1】
（2）因为f（A）=sin（2A-π/6）=1
所以2A-π/6=π/2=2kπ
A=4π/3+kπ
因为A为△ABC的内角，a＜b
所以A=π/3
由余弦定理得
a^2=b^2+c^2-2bccosA
即7=9+c^2-3c
解得c=1，或2
答
1
答
1) f(x)=cos(2x-π/3)-cos2x=-2sin(2x-π/6)sin(-π/6)=sin(2x-π/6) 和差化积
x属于(0,π/2),(2x-π/6）属于(-π/6,5π/6 ) f(x)属于( -sinπ/6 sinπ/6),即 (-1/2 1/2)
2）若f(A)=1,即sin(2A-π/6)=1,2A-π/6= π/2 A= π/3
余弦定理 a^2=b^2+c^2+2bccosA c^2+3c+2=0 c=1,2