tanα*tan2α+tan2α*tan3α+...+tan(n-1)*tan(nα)=(tannα-ntanα)*cotα n∈﹙N﹢﹚
问题描述：
tanα*tan2α+tan2α*tan3α+...+tan(n-1)*tan(nα)=(tannα-ntanα)*cotα n∈﹙N﹢﹚
答
(tannα-ntanα)cotα=tannα/tanα-n (1)当n=2时,左边=tanα·tan2α,右边 =tanα·tan2α, ∴左边=右边.∴原等式成立. (2)假设当n=k时,等式成立,即tanαtan2α tan2αtan3α … tan(k-1)αtankα= tankα/tanα-k, 则当n=k 1时,tanαtan2α tan2αtan3α … tan(k-1)αtankα tankαtan(k 1)α=tankα/tanα-k tankαtan(k 1)α , 即n=k 1时,等式成立. 根据(1)(2),可知对一切n≥2,n∈n*,等式恒成立.
答
由
tana=tan(2a-a)
=(tan2a-tana)/(1+tanatan2a)得
tanatan2a=(tan2a-tana)/tana - 1
=(tan2a-tana)cota-1
则
tanα*tan2α+tan2α*tan3α+...+tan(n-1)*tan(nα)
=(tan2a-tana+tan3a-tan2a+...+tanna-tan(n-1)a)cota-n
=(tanna-tana)cota-n
=(tanna-(n+1)tana)cota
得证