线性代数问题 证明上三角矩阵的逆矩阵是上三角矩阵在上三角矩阵存在逆矩阵的情况下
问题描述：
线性代数问题 证明上三角矩阵的逆矩阵是上三角矩阵
在上三角矩阵存在逆矩阵的情况下
答
设P为上三角矩阵,Q不是；且Q是P的逆矩阵.由Q不是上三角矩阵,存在i>j使得Q(ij)≠0.取Q的第j列中最下面一个非零元,假设在第l行（则l>=i>j）,则Q(lj)≠0,且对任意k>l有Q(kj)=0.所以
(PQ)(lj)=∑_k P(lk)Q(kj)=∑_{k
由P为上三角矩阵,当k
(PQ)(lj)=P(ll)Q(lj)
P(ll)是可逆上三角矩阵P的对角元,所以P(ll)≠0；由l的取法知Q(lj)≠0.所以(PQ)(lj)=P(ll)Q(lj)≠0（l>j）.但由假设,Q是P的逆矩阵,所以PQ为单位矩阵,特别地是对角矩阵,和(PQ)(lj)≠0（l>j）矛盾.所以假设不成立,Q一定是上三角矩阵