已知实对称举证A的两个特征根不相等,对应的特征向量分别为,证明:必正交正交

问题描述:

已知实对称举证A的两个特征根不相等,对应的特征向量分别为,证明:必正交正交

设Ap1=λ1p1,Ap2=λ2p2,λ1≠λ2,则
(p1)'Ap2=(p1)'(λ2p2)=λ2(p1'p2)
(p1)'Ap2=(Ap1)'p2=(λ1p1)'p2=λ1(p1'p2)
所以,λ2(p1'p2)=λ1(p1'p2)
因为λ1≠λ2,所以p1'p2=0,即p1与p2正交
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注:上面的'表示转置