如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．求证：K是线段MN的中点．
问题描述：
如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．
求证：K是线段MN的中点．
答
证明：∵EF截△PMN，则NKKM.MFFP.PEEN＝1(1)∵BC截△PAE，则EBBA.ACCP.PNNE＝1(2)，∴即有PNNE＝2CPAC，所以PEEN＝2CP+ACAC(3)，∵CD截△PMA，则FDDC.CAAP.PMMF＝1，即PMMF＝2APAC，∴PFMF＝2AP−ACAC(4)因AP=AC+CP...
答案解析：根据题意，EF截△PMN，则
.NK KM
.MF FP
＝1(1)；BC截△PAE，则PE EN
.EB BA
.AC CP
＝1(2)；所以PN NE
＝PE EN
(3)．而CD截△PMA，则2CP+AC AC
.FD DC
.CA AP
＝1，即PM MF
＝PM MF
，∴2AP AC
＝PF MF
(4)，因AP=AC+CP，得2CP+AC=2AP-AC，由（3），（4）得，2AP−AC AC
＝PE EN
，即FP MF
.MF FP
＝1，所以由（1）得NK=KM，即K是线段AM的中点．PE EN
考试点：相似三角形的判定与性质．
知识点：本题考查了线段截三角形所得的线段的比为定值．以及比例的性质．