cosx/的不定积分

∫ cosx /（2sinx+3cosx）dx
= ∫ cosx / √13 [(2 / √13)sinx + (3 / √13)cosx] dx
令cosβ = 2 / √13 则sinβ = 3 / √13
上式= ∫ cosx / √13 sin(x+β) dx (诱导公式)
= ∫ cos(x+β-β) / √13 sin(x+β) dx
= ∫ [cos(x+β)cosβ + sin(x+β)sinβ] / √13 sin(x+β) dx
= ∫ [(2 / √13)cos(x+β) + (3 / √13)sin(x+β)] / √13 sin(x+β) dx
= ∫ (2/13)cot(x+β) dx + ∫ 3/13 dx
= (2/13) ln(x+β) + (3/13)x + C
由cosβ = 2 / √13------→β = arccos(2 / √13)
上式=(2/13) ln(x+arccos(2 / √13)) + (3/13)x + C

设A=∫cosx/(2sinx+3cosx)dx,B=∫sinx/(2sinx+3cosx)dx,则
3A+2B=3∫cosx/(2sinx+3cosx)dx+2∫sinx/(2sinx+3cosx)dx=∫dx=x+C1
2A-3B=∫2cosx/(2sinx+3cosx)dx-∫3sinx/(2sinx+3cosx)dx=∫(2cosx-3sinx)/(2sinx+3cosx)dx
=∫d[(2sinx+3cosx)]/[(2sinx+3cosx)]=ln|2sinx+3cosx|+C2
解得
A=1/13*[(3x+3C1+2ln|2sinx+3cosx|+2C2]=1/13*[(3x+2ln|2sinx+3cosx|+3C1+2C2]=
1/13*(3x+2ln|2sinx+3cosx|)+C