如何证明黎曼函数中,当s为-2n时(n是正整数),函数值为0

问题描述:

如何证明黎曼函数中,当s为-2n时(n是正整数),函数值为0

首先回顾Riemann ζ函数的定义:
若Res>1,则ζ(s)=∑{n>=1} 1/n^s;
若Res其中Γ表示Gamma函数:Γ(z)=∫[0,∞) t^(z-1)e^(-t) dt
(或者等价地用函数方程:当s≠0且s≠1时有
π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)=π^(-(1-s)/2)Γ((1-s)/2)ζ(1-s));
若0令s=-2n,满足Res=(2^(-2n))(π^(-2n-1))sin(-nπ)Γ(1+2n)ζ(1+2n)
=(2^(-2n))(π^(-2n-1))((2n)!)ζ(1+2n)*sin(-nπ),
而其中sin(-nπ)=0,所以ζ(-2n)=0.证毕