求4x6^n+5^n+1除以20的余数是多少
求4x6^n+5^n+1除以20的余数是多少
不知道你的这个题目里面5的次数是n还是(n+1)(因为我见过一个题是5^(n+1)) 此时其余数是9
一种方法:
(1+6+6^2+…+6^n)+(1+5+5^2+…+5^n)为整数,
求和得 (6^n-1)/5 +(5^n-1)/4为整数,
于是4×(6^n-1)+5×(5^n-1)是20的倍数,
展开得4x6^n+5^(n+1)-9是20的倍数,
也就是4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9
得证。
补充说明:
这种类型的题,需要逆着推的思路。
要证明4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9,
即证4x6^n+5^(n+1)-9是20的倍数,
发现4+5=9,
于是作变换4×(6^n-1)+5×(5^n-1)。(证明此式是20的倍数)
再发现4×5=20,
于是提取20,
即证(6^n-1)/5 +(5^n-1)/4为整数。
观察(6^n-1)/5 和(5^n-1)/4的形式,
不难发现是(1+6+6^2+…+6^n)和(1+5+5^2+…+5^n)的和公式。
问题就简化到证明(1+6+6^2+…+6^n)+(1+5+5^2+…+5^n)为整数,
这是显而易见的——整数的整数次方必定是整数。
如果5的次数是n的话 再加1则这个的余数应该是10
(1+6+6^2+…+6^n)+(1+5+5^2+…+5^(n-1))为整数,
求和得 (6^n-1)/5 +[5^(n-1)-1]/4为整数,
于是4×(6^n-1)+5×[(5^(n-1)-1)]是20的倍数,
展开得4x6^n+5^n-9是20的倍数,
也就是4x6^n+5^n再加1 被20除后余数为10
10
利用等差数列公式Sn=A1(1-q^n)/(1-q) 即6º+6¹+6²+6³……+6^(n-1)=1×(1-6^n)/(1-6)=(6^n-1)/5,5º+5¹+5²+5³……+5^(n-1)=1×(1-5^n)/(1-5)=(5^n-1)/4因为(1+6+6²+…...