有三堆小石子.每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作,取走的小石子数目可以不有三堆小石子.每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作,取走的小石子数目可以不同),或将其中任一堆(如果其小石子数是偶数)的一半小石子移到另一堆上.开始时,第一堆有小石子1989块,第二堆有小石子989块,第三堆有小石子89块.能否使 (1) 某两堆小石子一个不剩?(2) 三堆小石子都一个不剩?
有三堆小石子.每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作,取走的小石子数目可以不
有三堆小石子.每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作,取走的小石子数目可以不同),或将其中任一堆(如果其小石子数是偶数)的一半小石子移到另一堆上.开始时,第一堆有小石子1989块,第二堆有小石子989块,第三堆有小石子89块.能否使 (1) 某两堆小石子一个不剩?(2) 三堆小石子都一个不剩?
分析:(1)很容易发现三堆小石子刚开始时的小石子数的末两位数字相同,因而首先三堆各取89块,这样剩下的石子数是:1900、900、0,接下来将第二堆移450块到第三堆,石子数变为:1900、450、450,再接下来三堆各取走450块就可以了。
(2) 发现最初三堆的石子数的和是:1989+989+89=3067,它不被3整除。而题目中的两种操作方法不改变这个特征,因而可得出结论。
(1) 可以使某两堆小石子一个不剩。只要按如下步骤取即可。
(1989,989,89) (1900,900,0) (1900,450,450) (1450,0,0)
(2) 最初三堆石子的总数是1989+989+89=3067,它不能被3整除。
而进行任何一次操作后所得的三堆石子的总数被3除所得的余数不变,所以不管进行几次操作,三堆石子的总数被3除所得的余数都不为0,即不可能将三堆石子都取光。
评注:本题第二步中,抓住了三堆石子的总数被3除所得的余数不变这个特征,从而使问题得到顺利解决。因而解题时应认真分析,抓住关键。
首先,第二种操作中总数不变;第一种操作中总数减少三的倍数
因此从始至终,总数关于三的余数始终不变。
原来共有1989+989+89块,除以三余1
因此最后状态也一定是总和除以三余1.
所以(2)三堆石子一个不剩 显然不可能。
对于(1)某两堆一个不剩
可以如下构造:
1989,989,89->1900,900,0->1900,450,450->1450,0,0
即,第一次减89,第二次将第二堆移到第三堆,第三次减450
(1) 可以使某两堆小石子一个不剩.只要按如下步骤取即可.(1989,989,89) (1900,900,0) (1900,450,450) (1450,0,0)(2) 最初三堆石子的总数是1989+989+89=3067,它不能被3整除.而进行任何一次操作后所得的三堆石子的总数被3除所得的余数不变,所以不管进行几次操作,三堆石子的总数被3除所得的余数都不为0,即不可能将三堆石子都取光.评注:本题第二步中,抓住了三堆石子的总数被3除所得的余数不变这个特征,从而使问题得到顺利解决.
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1989 989 89
1900 900 0
1900 450 450
1450 0 0
所以第一问是可以的
第二问不可以
因为三堆总数是1989+989+ 89,除以3的余数是1
而第一种操作使总数减少3n,第二种操作使总数不变
总是无法改变总数对3的余数,所以最后肯定剩3k+1块