一道简洁的数学证明题,自己想的求证：N^5-N=30K,(N,K∈Z）最好不用讨论分几种情况~下面是不用讨论的方法：发现 Y=(N-1)N(N+1)(N+2)(N+3)能被30整除，将其变形为(N-1)N(N+1)(N²+5N+6)=(N-1)N(N+1)(N²+1+5N+5)=(N-1)N(N+1)(N²+1)+(N-1)N(N+1)(5N+5)=N^5-N+5(N-1)N(N+1)²因为5(N-1)N(N+1)²一定能被30整除，又Y=(N-1)N(N+1)(N+2)(N+3)=N^5-N+5(N-1)N(N+1)²能被30整除，所以N^5-N=30K,(N,K∈Z)得证。
一道简洁的数学证明题,自己想的
求证：N^5-N=30K,(N,K∈Z）
最好不用讨论分几种情况~
下面是不用讨论的方法：
发现 Y=(N-1)N(N+1)(N+2)(N+3)能被30整除，将其变形为(N-1)N(N+1)(N²+5N+6)=(N-1)N(N+1)(N²+1+5N+5)=(N-1)N(N+1)(N²+1)+(N-1)N(N+1)(5N+5)=N^5-N+5(N-1)N(N+1)²
因为5(N-1)N(N+1)²一定能被30整除，又Y=(N-1)N(N+1)(N+2)(N+3)=N^5-N+5(N-1)N(N+1)²能被30整除，所以
N^5-N=30K,(N,K∈Z)得证。
汗~~
N^5-N
=N(N^4-1)
=(N-1)N(N+1)(N²+1)
明显(N-1)N(N+1)能被6整除
若(N-1)N(N+1)能被5整除，则原式能被30整除
若不能，则(N-1)N(N+1)除以5所得的余数为连续的自然数，要么1,2,3要么2,3,4，那么N=2或者3
若N=2，那么N的末位数字是2或7，平方后加1的末位数字是5或0，是5的倍数
若N=3那么N的末尾数字是3或8,平方后加1的末位数字是0或5，是5的倍数
综上所述，N^5-N=30K,(N,K∈Z）
n^5-n=n*(n^4-1)=(n-1)*n*(n+1)*(n^2+1)
(n-1),n,(n+1)三数中必有一个数能被2整除,一个数能被3整除,故(n-1)*n*(n+1) 必能被6整除,于是n^5-n必能被6整除.
另一方面,如果n能被5整除,则n^5-n也能被5整除,如果n不能被5整除,由于5是素数,由Fermat定理可知,n^5-n也能被5整除,因此对任意的n,n^5-n均能被5整除,于是n^5-n必能被30整除.
思路就是证明做边的式子可以被2,3,5整除左边=n(n+1)(n-1)(n^2+1)n(n+1)(n-1)很容易得到可以被2 3整除设n=5x+aa=0 n=5xa=1 n-1=5xa=4 n+1=5x+5这三种情况,很明显n(n+1)(n-1)可以被5整除a=2 n=5x+2 n^2+1=(5x+2)^2+1=2...