如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,∠DAB=45°,AB=10cm,CD=4cm.等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm,A点与N点重合,MN和AB在一条直线上,设等腰梯形ABCD不动,等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s

问题描述:

如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,∠DAB=45°,AB=10cm,CD=4cm.等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm,A点与N点重合,MN和AB在一条直线上,设等腰梯形ABCD不动,等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动,直到点N与点B重合为止.

(1)等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由______形变化为______形;
(2)设当等腰直角三角形PMN移动x(s)时,等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm2),求y与x之间的函数关系式;
(3)当①x=4(s),②x=8(s)时,求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积.

(1)等腰直角△PMN,
∠DAB=45°,
∴∠PNM=∠DAB=45°,
∴∠AEN=180°-45°-45°=90°,
∴△AEN是等腰直角三角形,
如图②DC∥AB,∠DAB=∠PNM=45°,
∴四边形DENA是等腰梯形,
故答案为:等腰直角三角,等腰梯.
(2)可分为以下两种情况:
①当0<x≤6时,重叠部分的形状为等腰直角三角形EAN(如图①),
此时AN=x(cm),
过点E作EH⊥AB于点H,则EH平分AN,
∴EH=

1
2
AN=
1
2
x,
∴y=S△ANE=
1
2
AN•EH=
1
2
x•
1
2
x=
1
4
x2
②当6<x≤10时,重叠部分的形状是等腰梯形ANED(如图②),
此时,AN=x(cm),
可求得CE=BN=10-x,DE=4-(10-x)=x-6,
过点D作DF⊥AB于F,过点C作CG⊥AB于G,
则AF=BG,DF=AF=
1
2
(10-4)=3,
∴y=S梯形ANED=
1
2
(DE+AN)•DF=
1
2
(x-6+x)×3=3x-9.
答:y与x之间的函数关系式是y=
1
4
x2(0<x≤6)或 y=3x-9(6<x≤10).
(3)①当x=4(s)时,
y=
1
4
x2
1
4
×42
=4,
②当x=8(s)时,
y=3x-9=3×8-9=15,
答:①当x=4(s)时,等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2,②当x=8(s)时,等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是15cm2