要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐(如图),设计要求:圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等,都为r米.市场上,圆柱侧面用料单价为每平方米a元,圆锥侧面用料单价分别是

问题描述:

要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐(如图),设计要求:圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等,都为r米.市场上,圆柱侧面用料单价为每平方米a元,圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4倍和2倍.设圆锥母线和底面所成角为θ(弧度),总费用为y(元).

(1)写出θ的取值范围;
(2)将y表示成θ的函数关系式;
(3)当θ为何值时,总费用y最小?

圆柱的底面用料单价为每平方米2a元,圆锥的侧面用料单价为每平方米4a元,
设圆锥的高为h1米,母线长为l米,圆柱的高为h2米;
(1)∵圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等,都为r米.
则h1<r,
tanθ=

h1
r
<1
θ∈(0,
π
4
)
…(3分)
(2)圆锥的侧面用料费用为4aπrl,圆柱的侧面费用为2aπrh2,圆柱的地面费用为2aπr2,..(6分)(每个面积公式1分)
则y=4aπrl+2aπrh2+2aπr2
=2aπr(2l+h2+r)=2aπr[
2r
cosθ
+(r-h1)+r]
=2aπr[
2r
cosθ
+(r-rtanθ)+r]=2aπr2[(
2
cosθ
-tanθ)+2]
(9分)
(3)设f(θ)=
2
cosθ
-tanθ
,其中θ∈(0,
π
4
)
…(10分)
f′(θ)=
2sinθ-1
cos2θ
,..(11分)
θ=
π
6
时,f′(θ)=
2sinθ-1
cos2θ
=0

θ∈(0,
π
6
)
时,f′(θ)=
2sinθ-1
cos2θ
<0

θ∈(
π
6
π
4
)
时,f′(θ)=
2sinθ-1
cos2θ
>0
;..(13分)
则当θ=
π
6
时,f(θ)取得最小值,..(14分)
则当θ=
π
6
时,费用y最小(15分)