将半径为72cm的扇形OAB剪去小扇形OCD,余下扇环ABCD的面积为648πcm2.将这个扇环围成一个圆台,若圆台的下底与上底半径之差是6cm.求圆台的高.

问题描述:

将半径为72cm的扇形OAB剪去小扇形OCD,余下扇环ABCD的面积为648πcm2.将这个扇环围成一个圆台,若圆台的下底与上底半径之差是6cm.求圆台的高.

根据题意,设扇形的圆心角是α弧度,扇形OCD的半径为R1
扇形OAB的半径为R2=72,圆台上底面半径为r1,下底面半径为r2,圆台高为h,
∵扇形OAB的面积S2=

1
2
αR22=
1
2
α•722,扇形OCD的面积S1=
1
2
αR12
∴S2-S1=
1
2
α(722-R12)=648πcm2,可得
1
2
α(72+R1)(72-R1)=648πcm2,①,
∵弧AB=αR2=72α=2π•r2,弧CD=αR1=2πr1,r2-r1=6
∴r2=
36α
π
,r1=
R1α
,可得
72α−R1α
=6,整理得
1
2
α(72-R1)=6π,②,
将(2)代入(1),得6π•(72+R1)=648πcm2,解得R1=36cm
代入(2),得α=
π
3

从而得到r1=6,r2=12,圆台母线长为R2-R1=72-36=36
∴圆台高h=
362−(12−6)2
=6
35