已知椭圆x^2/9+y^2/b^2=1,左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,则|BF2|+|AF2|的最大值
问题描述：
已知椭圆x^2/9+y^2/b^2=1,左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,则|BF2|+|AF2|的最大值
答
椭圆左焦点为(-√(9-b²),0),设过这点的直线AB方程为y=k[x+√(9-b²)] (k∈R)
则联立两方程消去y化简有(9k²+b²)x²+18k²√(9-b²)x+81k²-9k²b²-9b²=0
令A(x1,y1)、B(x2,y2),由Vieta定理知道x1+x2=-18k²√(9-b²)/(9k²+b²)
椭圆右准线为x=9/√(9-b²)
设A、B到右准线的距离分别是s1、s2,则|AF2|/s1=e,|BF2|/s2=e,其中离心率e=√(9-b²)/3
所以|AF2|+|BF2|=e(s1+s2)=e[2*9/√(9-b²)-x1-x2]=√(9-b²)/3*[18/√(9-b²)-x1-x2]=√(9-b²)/3*[18/√(9-b²)+18k²√(9-b²)/(9k²+b²)]=6+6k²(9-b²)/(9k²+b²)=6+6(9-b²)/(9+b²/k²)
因为k∈R,所以当k²增大时,|AF2|+|BF2|也增大.
当k→±∞时,|AF2|+|BF2|达到最大值12-2b²/3