设（x1,y1）,（x2,y2）,……（xn,yn）是不定方程(x-5)(x-77)=3^y所有的整数解,则x1+x2+……+xn的值是?
问题描述：
设（x1,y1）,（x2,y2）,……（xn,yn）是不定方程(x-5)(x-77)=3^y所有的整数解,则x1+x2+……+xn的值是?
答
显然,若(X,Y)为解,则(82-X,Y)代入也为解.因此解成对.只需证明其只有一对解即可.
成对解中因其和为82,则至少其中之一大于5,令其为x
由(x-5)(x-77)=3^y
得左边每项需为3的倍数
x-5=3^a,x-77=3^b,y=a+b
前两式相减得：72=3^a-3^b=3^b[3^(a-b)-1]=9*8
因此只能有3^b=9,3^(a-b)-1=8
解得b=2,,a=4
即x=86
所以方程只有整数解（86,6),(-4,86)
所以有：x1+x2+..xn=82.