已知,在△ABC中,CA=CB,∠C=90°,D为AB上任意一点,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F,求证:EF=|AE-BF|.

问题描述:

已知,在△ABC中,CA=CB,∠C=90°,D为AB上任意一点,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F,求证:EF=|AE-BF|.

证明:∵AE⊥CD,
∴∠AEC=90°,
∴∠ACE+∠CAE=90°,(直角三角形两个锐角互余)
∵∠ACE+∠BCF=90°,
∴∠CAE=∠BCF,(等角的余角相等)
∵AE⊥CD,BF⊥CD,
∴∠AEC=∠BFC=90°,
在△ACE与△CBF中,

∠AEC=∠BFC
∠CAE=∠BCF
AC=BC

∴△ACE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF,CE=BF,
∴EF=CE-CF=BF-AE,
当AE>BF时,如图,

同法可求EF=AE-BF,
即EF=|AE-BF|.