若关于x的不等式x2+9+|x2-3x|≥kx在[1,5]上恒成立,则实数k的范围为_.

问题描述:

若关于x的不等式x2+9+|x2-3x|≥kx在[1,5]上恒成立,则实数k的范围为______.

令f(x)=x2+9+|x2-3x|,x∈[1,5],则f(x)=

f1 (x)=3x+9,      x∈[1,3]
f2(x)=2x2−3x+9 ,  x∈(3,5]
,由已知,k只需小于或等于g(x)=
f(x)
x
的最小值即可.
当x∈[1,3]时,g(x)=
f(x)
x
=3+
9
x
≥6,
当x∈(3,5]时,g(x)=
f(x)
x
=2x+
9
x
-3,g′(x)=(
f(x)
x
)′=2-
9
x2
>0,是增函数,g(x)>g(3)=6,
所以g(x)的最小值为6,所以k≤6.
故答案为:(-∞,6]