如何判断出n^4+n^3-12n^2-14n-16=0无解?

问题描述:

如何判断出n^4+n^3-12n^2-14n-16=0无解?

因为
n=0时,n^4+n^3-12n^2-14n-16<0;
n=10 时,n^4+n^3-12n^2-14n-16>0 ,
所以原方程有实数解.
题意应该是无自然数解!
将方程两边除以 n² 整理得
n²+n-(14n+16)/n²=12………………①
因为n²+n、12均为自然数,故(14n+16)/n²为自然数,
所以,14n+16 ≥ n²
解得 7-√65≤n≤7+√65
所以,n可以取1~15的自然数,
考虑到 14n+16为偶数,所以n也只能是偶数,
检验得 n=2,10时,(14n+16)/n²分别为自然数11、2,但均不满足①,
所以,原方程无自然数解.为什么14n 16为偶数,n就一定为偶数了? 还有为什么后面只检验n=2,10,别的不需要检验吗?错错,我搞错了,应该检验n为奇数的情况!检验得 n=1时,(14n+16)/n²为自然数30,也不满足①.检验后得到的结论:仅n=1、2、10时,(14n+16)/n²为自然数,其他都是分数.所以,原方程无自然数解.我还是没搞懂。。为什么又应该检验n为奇数的情况呢?那2,10是怎么来的再简单一点:由n²+n-(14n+16)/n²=12………………①得(14n+16)/n²=n²+n-12...........................②②左边>0,则右边 n²+n-12>0,即n(n+1)>12,所以 n>3..........③②右边为自然数,则左边 (14n+16)/n²也应该为自然数,所以,14n+16 ≥ n²解得 7-√65≤n≤7+√65.......................④由③④知,n可以取4~15的自然数进行检验,分别将n=4,5,6,....,15代入(14n+16)/n²中,仅n=8时(14n+16)/n²=2为自然数,但将n=8代入①不成立,所以,原方程无自然数解.前面晚上太晚,搞乱了,n=10是错误的!