抛物线问题:已知抛物线y^2=4x截直线y=2x+b所得弦长AB=3根号5,试在X轴上求一点P,让三角形ABP的面积为39关键点在于求出来有两个数,15和-11,那个-11到底要不要舍去,如果要那原有又是什么?我画了精确的图,从图上看-11是可行的 ,但我们老师说要舍去,
问题描述:
抛物线问题:已知抛物线y^2=4x截直线y=2x+b所得弦长AB=3根号5,试在X轴上求一点P,让三角形ABP的面积为39
关键点在于求出来有两个数,15和-11,那个-11到底要不要舍去,如果要那原有又是什么?我画了精确的图,从图上看-11是可行的 ,但我们老师说要舍去,
答
联立:y^2=4x、y=2x+b,消去y,得:(2x+b)^2-4x=0,∴4x^2+4bx+b^2-4x=0,
∴4x^2+(4b-4)x+b^2=0.
∵A、B都在直线y=2x+b上,∴可设A、B的坐标分别是(m,2m+b),(n,2n+b).
显然,m、n是方程4x^2+(4b-4)x+b^2=0的根,∴由韦达定理,有:
m+n=(4-4b)/4=1-b,mn=b^2/4.
依题意,有:|AB|=√[(m-n)^2+(2m-2n)^2]=3√5,
∴5(m-n)^2=45,∴(m+n)^2-4mn=9,∴(1-b)^2-b^2=9,
∴1-2b=9,∴b=-4.
∴AB的方程是:y=2x-4,即2x-y-4=0.
令点P的坐标为(k,0).则P到AB的距离=|2k-4|/√(4+1)=2|k-2|/√5.
∴依题意,有:(1/2)×3√5×2|k-2|/√5=39,∴|k-2|=13,
∴k-2=13,或k-2=-13.∴k=15,或k=-11.
∴满足条件的点P的坐标是(15,0),或(-11,0).
注:线段AB为定值,△PAB的面积也是定值,∴在AB的两侧各有一点,能使△PAB的面积相等,
∴满足条件的点P一定有两个.
[你的老师说要舍去点(-11,0),是不是你少写的限制条件:点P在x轴的正半轴上?]