已知A(m,0),|m|≤2,椭圆x^2/4+y^2=1,P在椭圆上移动,求|PA|最小值(参数方程与坐标系)
问题描述：
已知A(m,0),|m|≤2,椭圆x^2/4+y^2=1,P在椭圆上移动,求|PA|最小值(参数方程与坐标系)
答
令x=2cosa
y=sina
则PA^2=(m-2cosa)^2+(0-sina)^2
=4(cosa)^2-4mcosa+m^2+(sina)^2
因为(sina)^2+(cosa)^2
所以PA^2=3(cosa)^2-4mcosa+m^2+1
=3(cosa-2m/3)^2-m^2/3+1
开口向上,对称轴cosa=2m/3
-1若2m/3则定义域在对称轴右边,是增函数
所以cosa=-1,PA^2最小=m^2+4m+4=(m+2)^2
PA=|m+2|
因为m0
若-1则cosa=2m/3,PA^2最小=-m^2/3+1
此时m^2=1/4>0
若2m/3>1,m>3/2
则定义域在对称轴左边,是减函数
所以cosa=1,PA^2最小=m^2-4m+4=(m-2)^2
PA=|m-2|
因为m>3/2所以3/2
综上
m-2-3/23/2