已知ABC是三角形ABC的三个内角,向量a=(√5/2sinA+B /2,cosA-B /2),|a|=3√2/4
问题描述：
已知ABC是三角形ABC的三个内角,向量a=(√5/2sinA+B /2,cosA-B /2),|a|=3√2/4
求证：tanA·tanB为定值
求tanC的最大值.
答
1）
|a|²=（3√2/4）²=9/8
|a|²=5/4sin²（A+B） /2+cos²（A-B） /2
=5/8（1-cos（A+B））+1/2（1+cos（A-B））
=5/8+1/2-5/8cos（A+B）+1/2cos（A-B）=9/8
∴1/2cos（A-B）-5/8cos（A+B）=0
4cos（A-B）-5cos（A+B）=0
-cosAcosB+9sinAsinB=0
9sinAsinB=cosAcosB
tanA·tanB=1/9
2）
ABC是三角形ABC的三个内角
tanA·tanB·tanC=tanA+tanB+tanC
tanA·tanB=1/9
1/9·tanC=tanA+tanB+tanC
-8/9tanC=tanA+tanB≥2√tanA·tanB=2/3
tanC≤-3/4
tanC的最大值= - 3/4