已知ABC是三角形ABC的三个内角,向量a=(√5/2sinA+B /2,cosA-B /2),|a|=3√2/4

问题描述:

已知ABC是三角形ABC的三个内角,向量a=(√5/2sinA+B /2,cosA-B /2),|a|=3√2/4
求证:tanA·tanB为定值
求tanC的最大值.

1)
|a|²=(3√2/4)²=9/8
|a|²=5/4sin²(A+B) /2+cos²(A-B) /2
=5/8(1-cos(A+B))+1/2(1+cos(A-B))
=5/8+1/2-5/8cos(A+B)+1/2cos(A-B)=9/8
∴1/2cos(A-B)-5/8cos(A+B)=0
4cos(A-B)-5cos(A+B)=0
-cosAcosB+9sinAsinB=0
9sinAsinB=cosAcosB
tanA·tanB=1/9
2)
ABC是三角形ABC的三个内角
tanA·tanB·tanC=tanA+tanB+tanC
tanA·tanB=1/9
1/9·tanC=tanA+tanB+tanC
-8/9tanC=tanA+tanB≥2√tanA·tanB=2/3
tanC≤-3/4
tanC的最大值= - 3/4